精度管理の考え方中　恵一

互いに独立な2つの標本を、次のようにする。

• x ₁ , x ₂ , ... , x_Nx：標本数 Nx
• y ₁ , y ₂ , ... , y_Ny：標本数 Ny

この標本を得た2組の母集団は、正規分布であることが分かっているものとし、2つの母集団に関する分散σ_x² と σ_y² は共に未知であるものとする。
まず、2つの母集団の分散について等しいかどうかを検定する必要がある。
分散が等しい場合には後出の(1)の方法を、等分散性でない、すなわちバラツキが等しくない、2つの分布平均を比較するには違った検定法（後出の(2)の方法）を用いる。

母分散は未知であるので標本分散を求め、これから母分散の不偏分散推定値を得てその等分散性を検定する。

検定手順

前提：

帰無仮説H₀：σ_x²＝ σ_y²

対立仮説H₁：σ_x²≠ σ_y²

有意水準α=0.05で両側検定を行う

F値の計算

記号を次のようにする。

母分散の不偏分散推定値：u_x², u_y²

標本分散：s_x², s_y²

･･･式(1)

手計算では、F>1となるように標本から計算されるs_x²と s_y²を選び、F表から2.5％点を読みとる（検定の前提は有意水準α=0.05であるが、2つの群の分散を比にするときF≧qのときも、F≦qの場合もあるので、検定はα/2として有意水準2.5％をとる）。このときの自由度は、f_x=N_x-1, f_y=N_y-1である。

【参考】エクセル関数：finv(p, df1, df2) は、第1自由度df1、第2自由度df2、でF分布における上側確率がpとなるときのF値を計算する。また、エクセル関数：fdist(F,df1, df2) は、同様に第1自由度df1、第2自由度df2、でF分布における値Fの上側確率、すなわち与えられたF値より大きくなるときの確率を計算する。

定義したα/2を上側確率として、F分布におけるパーセント点を計算し、このパーセント点に比較して式(1)で計算された値が小さいときは、帰無仮説を採択し、2つの母分散には有意な差がないと判定する。逆に、式(1)で計算された値が大きいときは、帰無仮説を棄却し、2つの母分散には有意な差があると判定する。あるいは、式(1)で計算された値をF分布におけるパーセント点とし、F分布においてこの値より大きくなる確率を計算し、これが定義したα/2より小さいときには、めったにそんなことが起きないと考え帰無仮説を棄却する。

【例】f_x=N_x-1= f_y=N_y-1=19で、式(1)の値が1.90であったとき、エクセル関数：finv(0.025, 19, 19)=2.526と計算され、上側確率が2.5%（p=0.025）になるときのF値が2.526であり、2.526＞1.90であるので帰無仮説を採択する。または、もう一つのエクセル関数： fdist(1.90, 19, 19)=0.0855から、F分布において1.90より大きい場合の確率は、8.6％である。これは2.5％より小さいと言えないので帰無仮説を採択することになり、同じ結果となって「2つの母分散は等しい」と判定する。

(1) 2つの母集団に対する母分散が等しいと仮定できるか、あるいは、2つの母集団の等分散についての検定によって帰無仮説が採択されたとき、母平均の差に関するStudent t-検定を行う。

検定手順

前提：

帰無仮説H₀：　2つの群の母平均には差がない

対立仮説H1：　2つの群の母平均には差がある

有意水準α=0.05で両側検定を行う

各統計量の計算

記号を次のようにする。

2つの標本平均：　

2つの群を合わせた不偏分散推定値：　u_e²,

･･･式(2)

検定統計量t₀を求める。

･･･式(3)

式(2)(3)に標本分散s_x², s_y²を用いると、

･･･式(4)

したがって、

そこで、式(3)は次のようになる。

･･･式(5)

t₀は自由度f=N_x+N_y-2のt-分布に従う。

有意確率をP = Pr｛｜t｜≧ t₀｝とする。
t 分布表，または t 分布に関するエクセル関数を使う。

【参考】エクセル関数：tdist(t, df, flag) は、自由度dfでt-分布において、tより大きくなる片側確率（flag=1）あるいは絶対値がtより大きくなる両側確率（flag=2）を計算する。また、エクセル関数：tinv(p, df)は、自由度dfでt-分布における両側確率がpであるときのパーセント点を計算する。P₀= tdist(t₀, df, 2)のとき、t₀= tinv( P₀, df)の関係になる。また、tdist(t, df, 1)=2x tdist(t, df, 2)の関係がある。

式(5)によって計算された値t₀をt-分布におけるパーセント点とし、この値より大きくなる両側確率pを計算する。これが定義したα（=0.05）より小さいときには、めったにそんなことが起きないと考え帰無仮説を棄却する。
帰無仮説の採否を決める。
p＞α のとき，帰無仮説を採択する。「2 群の母平均値に差があるとはいえない」。
p≦α のとき，帰無仮説を棄却する。「2 群の母平均値に差がある」。

例題では，有意水準 5% で検定を行うとすれば（α = 0.05），P ＜ α であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「母平均値に差がある」。

(2) 2つの母集団に対する母分散が等しいと仮定できないか、あるいは、2つの母集団の等分散についての検定によって帰無仮説が棄却されたとき、母平均の差に関するWelch-検定を行う。
t-検定を用いて必ずしも母分散が等しいと前提できない2つの母平均について有意な差があることを検定するのは正しくない。これに代わる方法として、Cochran-Coxの方法、Welchの方法や、Welch-Aspinの方法などがあるが、比較的誤差の少ないWelch-検定を用いる。

検定に用いる統計量t'の計算
記号を次のようにする。

2つの標本平均：　

母分散の不偏分散推定値：u_x², u_y²

標本分散：s_x², s_y²

･･･式(6)

この統計量t'は、正確にt-分布に従わない。t-分布への近似は次の式による自由度を用いる。
まず、中間計算値cを求め、次いで、自由度νを計算する。

･･･式(7)

･･･式(8)

この式(8)によって得た自由度νに対するt-分布における両側確率αを与えるパーセント点を次に求めるが自由度νは一般に整数値にはならない。そこで、νの小数点以下を切り捨てた整数値をν_LOWとしてこの自由度に対するパーセント点t_LOWを得る。式(6)によって計算された値t₀をt_LOWと比較する。
このとき、t₀＞t_LOWならば、帰無仮説を棄却する。
さらに、この式（8）によって得た自由度νの小数点以下を切り上げた整数値をν_UPPERとしてこの自由度に対するパーセント点t_UPPERを得る。
このとき、t_UPPER＞t₀ならば、帰無仮説を採択する。
t_LOW＞t₀＞t_UPPERならば補間法によってt_mを求める。
たとえば、自由度νがν=19.2のとき、t_m=0.2×t₁₉＋0.8×t₂₀とすればよい。こうして求めたt-分布における両側確率αを与えるパーセント点が
t₀≧t_mならば、帰無仮説を棄却、t_m＞t₀ならば、帰無仮説を採択する。
結果として次のように判定する。
帰無仮説を採択したときは、「2 群の母平均値に差があるとはいえない」。
帰無仮説を棄却したときは、「2 群の母平均値に差がある」。

－補足－
Welch-検定の解説では、用いた母分散σ²の推定量である、母分散の不偏分散推定値u²を標本分散s²で表記していない。すでにそれまでの記述で、それが明らかであろうと考えたからである。しかし、標本分散で計算するように記述してある前半部と統一に欠けるので以下の通り式(6)以降を書き改めておく。

標本分布と母数との関係から記号を改めて書き出しておく。
1つの標本を O_x: x₁,x₂,………x_N　とし、標本の大きさをN_x とする。残る標本群は添え文字をyで表記する他は同じ。

xの母平均：μ_x：
yの母平均：μ_y： ただし、E{ } は期待値を示す記号
xの標本平均：：
yの標本平均：：
xの標本変動：S_x :
yの標本変動：S_y :
xの標本分散：　s_x²　：
yの標本分散：　s_y²　：
xの母分散の不偏分散推定値：　u_x² ：
yの母分散の不偏分散推定値：　u_y² ：
xの母分散：　σ_x² : E{u_x²} =σ_x²
yの母分散：　σ_y² : E{u_y²} =σ_y²

Welch-検定に用いる統計量t'の計算

･･･式(6')

この統計量t'は、正確にt-分布に従わない。t-分布への近似は次の式による自由度を用いる。
まず、中間計算値cを求め、次いで、自由度νを計算する。

<･･･式(7')

･･･式(8)

以下は本文に戻る。

篠倉　潔
（NTT西日本大阪病院　臨床検査科）
2003年8月15日