精度管理の考え方中　恵一

積率母関数

　分布の特徴をいくつかの量で表すために、モーメント（積率）が用いられる。たとえば、1次の積率は分布の中心がどこにあるかを示し、2次のそれは分布の中心付近において分布がどれほど集中しているかを示している。

　モーメントは理論的にその期待値を与える式より求められるが、一般には必ずしも容易ではない。そこで、モーメントを生成する関数として、積率母関数moment generating functionと呼ばれる次式を定義する。

　この式における級数θは、助変数として実際上の意味を持たない。単にモーメントを計算するための便宜上のものである。
　この式から、どのようにモーメントが生成されるか見ることにしよう。
φ（θ）をテイラー展開すると次のような式が得られる。

この展開式におけるの係数は、Xのk次のモーメントである。
すなわち、θでk回微分でき、θ=0とすると、モーメントは次のように表すことができる。


正規分布に対する積率母関数を求めてみよう。

ここでとすると、

したがって、であるから、

ここで

したがって、


積分式は、正規型の密度関数であるので、積分すれば、1となる。
結局、


この式から
　　　　　　　　　　　　が求められる。

平均値の周りのモーメントを計算するなら、Xの代わりにX−μを用いて積率母関数を求めればよい。
　　　　　　　　　　
すなわち、
　　　　　　　　　　
これを先と同様テーラー展開すれば、次式が得られる。
　　　　　　　　　　　

したがって、k次のモーメントは
kが奇数の時 　　　0
kが偶数の時　　　

積率母関数には、次の重要な性質がある。
　積率母関数がφ(θ)である確率分布は、ただ一つしかない。
したがって、もし、確率変数Xの積率母関数が、 であるなら、
それは、平均0、分散²の正規分布に対する積率母関数であるので、確率変数Xは、すなわち正規分布をする。

積率母関数の自然対数をとったものを累積率母関数と呼ぶ。すなわち、M（θ）で表して、


正規分布の場合、積率母関数は上に示したように次のようであるから、


自然対数をとれば、


すなわち1次のモーメントと2次のモーメントが係数で直ちに示される。

この累積母関数には大きな特色がある。
同一の母集団から無作為抽出によってそれぞれ独立な標本、X₁、X₂、・・・X_n を採るとき、
すべての標本の和Tをとれば、事象がそれぞれ独立であるところから次のように表せる。


積率母関数は、独立した事象の積となって、


この自然対数をとれば、累積母関数が得られる。


この特色を利用すると、たとえばｎ個の正規分布をなす標本の和も正規分布をなし、和の累積母関数は次のように示される。


すなわち上式から、その母平均と母分散はそれぞれ、nµ、n²となることが知れる。
これらの標本の母平均の平均値と母分散の平均値は、µ、およびとなる。
このことは改めて中心極限定理が成立することを示している。